Cumpre esclarecer que o contrato, independente do tipo, é caracterizado como negócio jurídico com a finalidade de gerar obrigações entre as partes, isto é, serve para estipular as regras e obrigações dos envolvidos. Então, a obrigação de celebrar contrato de trabalho (seja por experiência, temporário, por obra certa, intermitente, ou qualquer outro) continua válida, portanto, o trabalhador está certo em exigir um contrato de trabalho. Porém, vale ressaltar que o art. 443 da CLT também determina que o contrato de trabalho pode ser verbal ou por escrito,

No entanto, no que se refere ao contrato de trabalho pelo sistema, há de se observar que o entendimento jurisprudencial é de que somente se justifica o período de experiência quando empregado é contratado para função diversa da exercida no período anterior, ou quando algum fato superveniente a rescisão antecedente importar em redução da capacidade de trabalho. Outra possibilidade de celebrar contrato de experiência é se no contrato anterior o empregado não cumpriu o período total da experiência. Nesta situação é possível firmar um contrato a título experimental com a diferença dos dias não cumpridos.

Jurisprudência:
Não é válido contrato de experiência com empregado já “experimentado” pelo empregador, qualquer que fosse a natureza da relação de trabalho que antes ensejara o conhecimento da aptidão daquele nos serviços.

Por outro lado, se realmente o contrato já inicia como indeterminado, então conforme dito pelo Matheus, você pode adaptar o contrato do sistema retirando os pontos que falam sobre experiência, ou elaborar um novo contrato especifico contendo as regras que foram acordadas entre as partes.

Em relação a promoção, na prática não existe um modelo de contrato de mudança de função, mas você pode elaborar um adendo contratual no qual conste as novas obrigações contratuais, jornada de trabalho, salário, data da alteração e etc. Ou seja, o importante é que haja um documento que informe ao empregado o que está sendo alterado em seu contrato, para que possa haver o mutuo consentimento dessas modificações na relação de trabalho.

Fundamento legal:

CLT

Art. 442 - Contrato individual de trabalho é o acordo tácito ou expresso, correspondente à relação de emprego.

Parágrafo único - Qualquer que seja o ramo de atividade da sociedade cooperativa, não existe vínculo empregatício entre ela e seus associados, nem entre estes e os tomadores de serviços daquela. (Incluído pela Lei nº 8.949, de 9.12.1994)

Art. 442-A. Para fins de contratação, o empregador não exigirá do candidato a emprego comprovação de experiência prévia por tempo superior a 6 (seis) meses no mesmo tipo de atividade. (Incluído pela Lei nº 11.644, de 2008).

Art. 442-B. A contratação do autônomo, cumpridas por este todas as formalidades legais, com ou sem exclusividade, de forma contínua ou não, afasta a qualidade de empregado prevista no art. 3o desta Consolidação. (Incluído pela Lei nº 13.467, de 2017)

§ 1º É vedada a celebração de cláusula de exclusividade no contrato previsto no caput. (Incluído pela Medida Provisória nº 808, de 2017) (Vigência encerrada)

§ 2º Não caracteriza a qualidade de empregado prevista no art. 3º o fato de o autônomo prestar serviços a apenas um tomador de serviços. (Incluído pela Medida Provisória nº 808, de 2017) (Vigência encerrada)

§ 3º O autônomo poderá prestar serviços de qualquer natureza a outros tomadores de serviços que exerçam ou não a mesma atividade econômica, sob qualquer modalidade de contrato de trabalho, inclusive como autônomo. (Incluído pela Medida Provisória nº 808, de 2017) (Vigência encerrada)

~~§ 4º Fica garantida ao autônomo a possibilidade de recusa de realizar atividade demandada pelo contratante, garantida a aplicação de cláusula de penalidade prevista em contrato.~~ ~~(Incluído pela Medida Provisória nº 808, de 2017)~~ (Vigência encerrada)

§ 5º Motoristas, representantes comerciais, corretores de imóveis, parceiros, e trabalhadores de outras categorias profissionais reguladas por leis específicas relacionadas a atividades compatíveis com o contrato autônomo, desde que cumpridos os requisitos do ~~caput~~~~, não possuirão a qualidade de empregado prevista o~~ art. 3º. ~~(Incluído pela Medida Provisória nº 808, de 2017)~~ (Vigência encerrada)

~~§ 6º Presente a subordinação jurídica, será reconhecido o vínculo empregatício.~~ ~~(Incluído pela Medida Provisória nº 808, de 2017)~~ (Vigência encerrada)

§ 7º O disposto no caput se aplica ao autônomo, ainda que exerça atividade relacionada ao negócio da empresa contratante. (Incluído pela Medida Provisória nº 808, de 2017) (Vigência encerrada)

Art. 443. O contrato individual de trabalho poderá ser acordado tácita ou expressamente, verbalmente ou por escrito, por prazo determinado ou indeterminado, ou para prestação de trabalho intermitente. (Redação dada pela Lei nº 13.467, de 2017)

§ 1º - Considera-se como de prazo determinado o contrato de trabalho cuja vigência dependa de termo prefixado ou da execução de serviços especificados ou ainda da realização de certo acontecimento suscetível de previsão aproximada. (Parágrafo único renumerado pelo Decreto-lei nº 229, de 28.2.1967)

§ 2º - O contrato por prazo determinado só será válido em se tratando: (Incluído pelo Decreto-lei nº 229, de 28.2.1967)

a) de serviço cuja natureza ou transitoriedade justifique a predeterminação do prazo; (Incluída pelo Decreto-lei nº 229, de 28.2.1967)

b) de atividades empresariais de caráter transitório; (Incluída pelo Decreto-lei nº 229, de 28.2.1967)

c) de contrato de experiência. (Incluída pelo Decreto-lei nº 229, de 28.2.1967)

§ 3o Considera-se como intermitente o contrato de trabalho no qual a prestação de serviços, com subordinação, não é contínua, ocorrendo com alternância de períodos de prestação de serviços e de inatividade, determinados em horas, dias ou meses, independentemente do tipo de atividade do empregado e do empregador, exceto para os aeronautas, regidos por legislação própria. (Incluído pela Lei nº 13.467, de 2017)

Art. 468 - Nos contratos individuais de trabalho só é lícita a alteração das respectivas condições por mútuo consentimento, e ainda assim desde que não resultem, direta ou indiretamente, prejuízos ao empregado, sob pena de nulidade da cláusula infringente desta garantia.

[...]

LEI N o 10.406, DE 10 DE JANEIRO DE 2002 (Código civil)

Art. 104. A validade do negócio jurídico requer:

I - agente capaz;

II - objeto lícito, possível, determinado ou determinável;

III - forma prescrita ou não defesa em lei.

Contrato de Admissao

Conferência mensal dos pagamentos para evitar diferenças no informe de rendimentos